pi^e， e^pi哪个大？

[jkxf]

？？？

[枫林晓1]

后者大吧。

[jkxf]

后者大吧。

证明？

[crane]

有意思。数值计算：
pi^e ~ 22.45915771836104
e^pi ~ 23.140692632779263

后者稍微大一点点。

理论分析：两边同取 ln, 再同时除以 pi*e: (ln pi)/pi vs (ln e)/e。
考虑函数 f(x) = (ln x)/x

找临界点: f'(x) = (1-ln x)/x²
x_c = e.
f'(x) 先正后负，所以 x_c = e 是唯一最大值。

[枫林晓1]

忘怀昨日千般事。方有今宵一梦长。
大概知道，不去琢磨证明了。

[jkxf]

有意思。数值计算：
pi^e ~ 22.45915771836104
e^pi ~ 23.140692632779263

后者稍微大一点点。

理论分析：两边同取 ln, 再同时除以 pi*e: (ln pi)/pi vs (ln e)/e。
考虑函数 f(x) = (ln x)/x

找临界点: f'(x) = (1-ln x)/x²
x_c = e.
f'(x) 先正后负，所以 x_c = e 是唯一最大值。

你这是做题家的做法，不够cute