版主： SOD
三斜求积术是南宋数学家秦九韶独立发现的的一种根据三角形三条边 (三斜) 的长度直接计算三角形面积的数学方法。
秦九韶著作《数书九章》卷五第二题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷。”其算法是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方，得积。”
若以大斜记为 a，中斜记为 b，小斜记为 c，秦九韶的算法相当于下面的一般公式：
秦九韶的算法与古希腊的希罗公式 (Heron's formula, Hero's formula) 完全等效。
可以啊，但这里要区分两个层次：
“从数据中拟合出海伦公式”和“真正发现并证明海伦公式”不是一回事。
假设我们完全不给 AI 海伦公式，只给它大量这样的数据：
| 边 \(a\) | 边 \(b\) | 边 \(c\) | 面积 \(A\) |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 5 | 5 | 6 | 12 |
| 4 | 7 | 8 | 13.997 |
| … | … | … | … |
AI 可以尝试寻找：
$$
A=f(a,b,c)
$$
首先，它可能发现：
$$
A2
$$
比面积 \(A\) 本身更容易与三个边长建立简单关系。
然后经过大量数据分析，它可能发现某种结构：
$$
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
$$
再进一步把四个因子重新组织：
$$
(a+b+c)
(a+b-c)
(a-b+c)
(-a+b+c)
$$
令
$$
s=\frac{a+b+c}{2}
$$
就会得到：
$$
\boxed{A2=s(s-a)(s-b)(s-c)}
$$
于是：
genui{"learning_viz":{"type_id":"HERONS_FORMULA_AREA","content":"A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=(a+b+c)/2","locale_override":"zh-CN"}}
$$
\boxed{A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}
$$
这就是海伦公式。
如果只给 AI 大量数据，它甚至可能找到一个比海伦公式更复杂、但同样能预测这些数据的公式。
例如，它可能找到一个巨大的多项式：
$$
A=f(a,b,c)
$$
在训练数据上误差几乎为零。
这并不意味着它发现了真正的数学规律。
真正有意义的“发现”至少需要 AI 做三件事：
① 从数据中找到规律
而不是简单记住数据。
② 找到简洁、普适的表达式
能够预测没有见过的三角形。
③ 给出数学证明
证明这个公式对所有满足三角形不等式的三角形都成立。
这第三步非常关键。
如果我们给 AI 的不是：
三条边 → 面积
而只是给它一些更基础的几何规则，例如：
然后让它自己寻找：
$$
A=f(a,b,c)
$$
那么它实际上可以从几何原理一步步推导出海伦公式。
例如选择边 \(c\) 作为底边：
$$
A=\frac12ch
$$
利用勾股关系，可以把高 \(h\) 用 \(a,b,c\) 表示，经过代数化简，最终得到海伦公式。
这已经不只是“机器学习拟合”，而更接近AI 进行数学发现。
如果我们不给 AI 任何现成的三角形面积公式，只给它基本数学公理和大量几何数据，它能不能自己发现、推导并证明海伦公式？
理论上可以。
而且这和“AI 能不能发现人类尚未发现的新数学定理”是同一个方向的问题，只是海伦公式已经有已知答案，所以我们可以拿它作为一个非常好的实验。
如果你愿意，我可以下一步直接设计一个“不给 AI 海伦公式，让 AI 自己发现海伦公式”的实验，包括给 AI 什么数据、它应该如何搜索公式，以及如何判断它是真的“发现”而不是“猜中”。